Teorema de Pitágoras

PROBLEMA 1

Se va a cambiar una lámpara que está sobre una pared, se colocará una escalera de modo que su parte superior esté a una altura de 4. NL (num. de lista) m, ¿De que longitud debe ser la escalera, si por seguridad, debe apoyarse a 1.NL metros de la pared?

Tomamos a la altura de 4.4 como cateto mayor

Base de 1.4 como cateto menor

y debemos sacar la hipotenusa

Usaremos la formula del teorema de pitagoras

Raíz cuadrada de 4.4 al cuadrado + 1.4 al cuadrado

Raíz cuadrada de 19.36 + 1.96

Raíz cuadrada de 21.32

Hipotenusa = 4.61735955

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PROBLEMA 2

Los catetos de un triangulo rectángulo miden 8xNL (num. de lista) y 6.5xNL, determina la medida de la hipotenusa. Toma la hipotenusa como base, traza el triangulo y calcula su área mediante la formula usual y mediante la formula de Herón de Alenjandria.

99.2310563

Cateto mayor = 32

Cateto menor = 26

Sacamos la hipotenusa mediante la formula de pitagoras

La raiz cuadrada de 32 al cuadrado + 26 al cuadrado

La raiz cuadrada de 1024 + 676

La raiz cuadrada de 1700

Hipotenusa = 41. 2310563

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Para sacar el área del triangulo usaremos la formula de Héron:

Donde s = semiperimetro

a, b y c son los lados del triangulo

Entonces : 32 + 26 + 41.2310563 = 99.2310563

Ahora usaremos:

Donde A= área

S= semiperimetro

a, b y c = lados del triangulo

Entonces: 

raiz cuadrada de 28336149.9

área es igual a 5323.17104

Ahora para saber la altura despejamos la formula que usualmente usamos:

A= b x h/2

h= 2A/b

Entonces : 2( 5323.17104)/41.2310563

10646.3421/41.2310563

La altura es igual a 258.211723

• Para saber si el área sacada con la formula de Héron es correcta usaremos la formula : A= b x h /2

A= 41.2310563 x 258.211723 / 2

Área = 5323.17104

PROBLEMA 3

La hipotenusa de un triangulo rectángulo mide 9.5 x NL (num. de lista), y uno de los catetos 6.4 x NL. Determina la medida del cateto faltante. Tomando como base la hipotenusa, traza el triangulo y la circunferencia inscrita.

Hipotenusa 38

cateto: 25.6

Para sacar el otro cateto debemos despejar la formula del teorema de pitagoras

Entonces: La raiz cuadrada de 38 al cuadrado + 25.6 al cuadrado

La raiz cuadrada de 1444 + 655.36

La raiz cuadrada de 2099.36

El cateto faltante mide 45.8187734

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PROBLEMA 4

Un triangulo rectángulo tiene un perimetro de 45 x NL (num. de lista) cm. Si es cateto mayor mide el doble que el cateo menor, determina la medida de los tres lados. Traza el triángulo y la circunferencia circunscrita.

Perimetro = 180

En este problema solo dividi mi perimetro entre 5.23 = 34.416826

Ese viene siendo mi cateto menor

Nos dice que el cateto mayor es el doble que el cateto menor entonces solo multiplique 34.416826 x 2 y me da un resultado de 68.83365201

Entonces ´para sacar la hipotenusa sume los catetos y se los reste al perimetro dandome un resultado de 76.74952199

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PROBLEMA 5

Un triangulo rectángulo tiene un perímetro de 64 x NL (num. de lista) cm. Si la hipotenusa mide el triple que el cateto menor, determina la medida de los tres lados. Traza el triangulo y la circunferencia circunscrita.

Perimetro = 256 cm

(P - 4x) al cuadrado = (3x) al cuadrado - x al cuadrado

65,536 - 2048x + 16x al cuadrado = 9x al cuadrado - x al cuadrado

16x al cuadrado - 1048x + 65,536 = 8x al cuadrado

- 8 x al cuadrado + 16x al cuadrado - 2048x + 65,536 = 0

8x al cuadrado - 2048x + 65536 = 0

Ahora utilizaremos esta formula:

Siendo:

a =8

b =2048

c =65536

x =  2048 +- la raiz de (- 2048) al cuadrado - 4(8x al cuadrado)(65,536)

x =  2048 +- la raiz de 4194304 - (32x al cuadrado)(65536)

x = 2048 +- la raiz de 4194304 - 2097152

x = 2048 +- la raiz de 2097152

x1 = 2048 + la raiz de 2097152 / 16

x1 = 218.509668

x2 = 2048 - la raiz de 2097152 / 16

x2 = 37.49033201

Nos dicen que la hipotenusa es el tripe que el cateto menor

No puede ser x1 ya que se pasa del perimetro

Entonces multiplicaremos x2 x 3

37.49033201 x 3 = 112.470996

Sumamos el resultado de la hipotenusa + cateto menor que es x2 y se lo restamos al perimetro:

112.470996 + 37.49033201 - 256 = 106.038672

Cateto menor = 37.49033201

Cateto mayor = 106.038672

Hipotenusa = 112470996

Hacemos la suma y nos da 256 que es nuestro perimetro

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Sacar la hipotenusa de un triangulo

PROBLEMA 1

Traza un triangulo rectángulo cuyos catetos miden NL (num. de lista) x 25 y NL x 32. Después traza la circunferencia a este triangulo.

Cateto 1 = 4 x 25 = 100

Cateto 2 = 4 x 32 = 128

Para sacar la medida del lado que falta, que viene siendo la hipotenusa debemos usar la formula del teorema de pitagoras

Tomando como "a" al cateto 1 y "b" al cateto 2

100 al cuadrado = 1000

128 al cuadrado = 16384

Al sumarlos nos da 26384 y al sacarle la raíz cuadrada = 162.431524

El cual es la medida de la hipotenusa del triangulo

Como hacer el triangulo en autocad

• Introducir comando linea y dar punto de partida a cualquier parte de la hoja de autocad poniendo como medida 128
• Introducir comando circulo y dar punto de partida en B poniendo como medida 100
• Introducir nuevamente comando circulo y dar punto de partida en C poniendo como medida 162.431524
• Donde crucen los círculos unimos con comando linea a cada extremo de la linea hecha al principio.
• Acotamos cada lado y listo.

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Ahora realizamos otra vez el triangulo pero usando como base la hipotenusa:

• Introducir comando linea y dar punto de partida a cualquier parte de la hoja de autocad poniendo como medida 162.431524
• Introducir comando circulo y dar punto de partida en B poniendo como medida 128
• Introducir nuevamente comando circulo y dar punto de partida en C poniendo como medida 100 
• Donde crucen los círculos unimos con comando linea a cada extremo de la linea hecha al principio.
• Trabajaremos con BC. Introduciremos comando linea, da punto de partida en B y le daremos una medida que sea un poco mas grande que la mitad de BC
• Haremos lo mismo ahora en C
• Introducimos comando linea y uniremos donde cruzan las círculos, y ahi es nuestro punto medio
• Introducir nuevamente comando circulo dando punto de partida en el punto medio hasta el punto C.

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PROBLEMA 2

Cateto mayor: 7.5 x NL (num. de lista)

Cateto menor: 5.2 x NL

Hipotenusa: ?

Tenemos como dato que nuestro cateto mayor es = 7.5 x 4 = 30

Cateto menor 5.2 x 4 = 20.8

Queremos sacar la hipotenusa y para eso debemos sacarlo con la formula del teorema de pitagoras

Asi que la raiz cuadrada de 30 al cuadrado + 20.8 al cuadrado

Raiz cuadrada de 900 + 433.64

Raiz cuadrada de 1332.64

Hipotenusa = 36.50534207

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PROBLEMA 3 

Hipotenusa = 11.NL (num. de lista)

Cateto mayor = 8.NL

Cateo menor =?

Nuestra hipotenusa mide 11.4

El cateto mayor mide 8.4

Como ahora queremos sacar el cateto menor y teniendo ya como dato la hipotenusa solo debemos despejar la formula del teorema de pitagoras

Siendo c = hipotenusa y a = cateto mayor

Raiz cuadrada de 11.4 al cuadrado - 8.4 al cuadrarado

Raiz cuadrada de 129.96 - 70.56

Raiz cuadrada de 59.4

Cateto menor = 7.70

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EJERCICIOS SOBRE VOLUMENES

PROBLEMA 1

Calcula el volumen de la pieza

Esta pieza esta constituida por dos prismas y para sacar su volumen, la formula es: largo x altura x ancho

Por lo que vamos a sacar el volumen del primer prisma

 Largo: 50

Altura: 100

Ancho: 10

Multiplicamos 50 x 100 x 10 = 50000

Sacamos el volumen del otro prisma

Largo: 50

Altura: 100

Ancho: 20

Multiplicamos: 50 x 100 x 20 = 100000

Hacemos la suma 50000 + 80000 = 150000 cm cúbicos 

PROBLEMA 2

Si la pieza se le realizan dos perforaciones con un diámetro de 8 unidades en la sección que tiene un espesor de 10 unidades ¿Cual sera el volumen después de ser realizadas estas perforaciones?

• Primero busque la formula del cilindro : 
  
• Después sustituí valores:

3.1416(16)*70 = 3518.58377202

• 70 por que viene siendo la altura en este caso
• Lo multiplicamos por 2 ya que son dos orificios = 7037.16754404
• Y le restamos al volumen total 150000 - 7037.16754404 = 142962.832456

PROBLEMA 3

Si las perforaciones se realizan en la sección que tiene un espesor de 20 unidades ¿Cual sera el volumen de la pieza después de ser realizadas dichas perforaciones?

• Hago lo mismo que en el problema anterior ahora solo cambiando el valor de 10 por el de 20

3.1416(16)*50 = 2513.27412287

• Lo multiplicamos por 2 = 5026.54824574
• Y le restamos el volumen total = 144973.451754

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PROBLEMA 4 

Una alberca tiene una longitud de 40 metros y un ancho de 12 metros. Determina su volumen total si la profundidad va aumentando linealmente de 1 a 2 metros

• Para sacar el volumen es: longitud x ancho x altura
• sabemos que la longitud es 40 metros
• El ancho es 12 metros
• Y la altura va aumentando de 1 a 2 metros
• Hacemos la multiplicación: 40 x 12 x 2 = 960 metros cubicos

TORNILLO EN AUTOCAD

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PROBLEMAS

PROBLEMA 1

En la figura, las dos circunferencias tienen un radio de 20 cm cada una y son tangentes entre si, las rectas l1 y l2 son tangentes a las circunferencias como se observa en la figura. Determina el área sombreada

Lo primero que vamos a hacer es determinar el área de los círculos, como los dos son iguales lo haremos una vez. pero solo sacaremos el área del semicírculo La formula para determinarlo es: 

Sabemos que el radio es de 20 cm por lo que vamos a multiplicarlo al cuadrado y nos da 400 cm. A esa cantidad la multiplicamos por pi. y nos da 1256.63706 y entre 2 nos da 628.31853

El área de los dos semicírculos es = 1256.63706

Después se puede observar que se construye un cuadrado en el medio de los dos círculos, asi que debemos sacar el área del cuadrado. Como sabemos la formula es lado x lado

El diámetro del circulo equivale a la medida del lado del cuadrado , por lo que la medida de los lados del cuadrado es a 40 cm.

Multiplicamos 40 x 40 y el área del cuadrado = 1600

Como queremos determinar el área sombreada solo tenemos que restar 1600, que es el área del cuadrado menos 1256.63706, que es el área de los dos semicírculos

Y el resultado es = 343.36294 cm.

PROBLEMA 2

El área del cuadrado menos es 81 in al cuadrado. Determina el  área del circulo y el cuadrado mayor

Sabemos que el área del cuadrado menor es igual a 81. Queremos sacar la medida de los lados, asi que lo que se hace es sacar la raiz cuadrado de 81 y nos da 9, que es la medida de los lados.

Cambien deseamos saber cuanto es la medida del diámetro del circulo, por lo que el diámetro es la diagonal que corta el cuadrado y para saber cual es su medida, usamos la formula del teorema de pitagoras:

Sustituimos valores que es 9 al cuadrado + 9 al cuadrado = 81+ 81 = 164.

La raiz cuadrada de 164 = 12.7279221

Entonces ese valor es el diámetro del circulo, para sacar el radio solo lo dividimos entre 2 que es = 6.3639105

Para sacar el área del circulo elevamos al cuadrado el radio y es = 40.4993569

A ese valor lo multiplicamos por pi. = 127.232482 y esa es el área del circulo

Para sacar el área del cuadrado mayor solo tenemos que notar que la medida del diametro del circulo tambien es la medida de los lados del cuadrado mayor, por lo tanto solo lo multiplicamos por si mismo: 

12.7279221 x 12.7279221 = 162.000001 

Ensayo 2400 palabras "Razon áurea"

Fue descubierto en la antigüedad, y puede encontrarse no solo en figuras geométricas, sino también en la naturaleza. A menudo se le atribuye un carácter estético especial a los objetos que contienen este número, y es posible encontrar esta relación en diversas obras de la arquitectura u el arte. Por ejemplo, el Hombre de Vitruvio, dibujado por Leonardo Da Vinci y considerado un ideal de belleza, está proporcionado según el número áureo. ¿Cuál es el origen y la importancia de este valor matemático?

El número áureo -a menudo llamado número dorado, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea o divina proporción- también posee muchas propiedades interesantes y aparece, escondido y enigmático, en los sitios más dispares.

El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides, unos tres siglos antes de Cristo, en su obra Los Elementos. Euclides definió su valor diciendo que "una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor." En otras palabras, dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si (a+b) / a = a / b. El valor de esta relación es un número que, como también demostró Euclides, no puede ser descrito como la razón de dos números enteros (es decir, es irracional y posee infinitos decimales) cuyo su valor aproximado es 1,6180339887498...

La obra Los elementos, es una de las obras científicas más conocidas del mundo y era una recopilación del conocimiento impartido en el centro académico. En ella se presenta de manera formal, partiendo únicamente de cinco postulados, el estudio de las propiedades de líneas, planos y de las formas regulares. Probablemente ninguno de los resultados de "Los elementos" haya sido demostrado por primera vez por Euclides pero la organización del material y su exposición, sin duda alguna se deben a él. De hecho hay mucha evidencia de que Euclides usó libros de texto anteriores cuando escribía los elementos ya que presenta un gran número de definiciones que no son usadas, tales como la de un oblongo, un rombo y un romboide. Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. 

El número áureo o de oro es un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) que posee muchas propiedades interesantes. se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como cohetes, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, el caparazón de un caracol, etc.

Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes.

El número áureo ha sorprendido y maravillado tanto a místicos como a matemáticos por igual. Las sucesiones de Fibonacci y su resultante tendencia al número phi, hacen que este tema parezca más un asunto de numerología y no de matemáticas. Sin embargo, es fácil demostrar su presencia en las proporciones del universo mismo.

Esto hizo que muchos, tal como era de esperar, supusieran que el Cosmos tenía un orden matemático complejo, solo posible gracias a una mente creadora. Esta mente creadora no podía ser otra que la de Dios. En la tradición filosófica abundan los ejemplos de grandes pensadores que creían justamente en la trascendencia mística de los números y el universo: Pitágoras, Aristóteles, Nicolás de Cusa, Galileo Galilei, Johannes Kepler, Wilhelm Leibniz, Isaac Newton... Incluso en el siglo XX encontramos a grandes pensadores de la talla de Einstein con un sentimiento casi religioso con respecto al Cosmos.

Lo cierto es que hojas, pétalos y semillas se ordenan en las plantas siguiendo un ángulo fijo, pero no necesariamente porque un “alguien” no se le ocurrió otra forma de ordenarlos, sino porque este orden es el mejor sistema de empaquetamiento aunque la planta crezca. Si colocamos el número áureo de hojas por vuelta en el tallo obtenemos el mejor empaquetamiento para que reciban todas ellas el máximo de luz solar sin que unas se oculten a otras y, en el caso de las flores, la mejor exposición para atraer a los insectos polinizadores.

De modo que el número áureo en la naturaleza parece ser más una consecuencia de la teleonomía y no de la teleología, como a muchos les gusta pensar.

LA FORMULA DIVINA

Del mismo modo que el número Pi (3,141592...) representa el cuerpo geométrico más perfecto, la esfera, 1,618033... es el número de la belleza. El monje del siglo XV Luca Pacioli, quizá influido por la idea de que los nuevos conocimientos debían adaptarse a las creencias de la Iglesia, lo llamó La Divina Pro porción e indicó: "Tiene una correspondencia con la Santísima Trinidad, es decir, así como hay una misma sustancia entre tres personas -Padre, Hijo y Espíritu Santo-, de igual modo una misma proporción se encontrará siempre entre tres términos, y nunca de más o de menos". Lo que se esconde tras esta esotérica frase, más propia de alquimistas y ocultistas que de matemáticos, es ese número, el cual se cree que fue bautizado por Leonardo da Vinci con el nombre de número áureo. Siglos más tarde el matemático estadounidense Mark Barr le asignó la letra griega fi, en honor al escultor Fidias, que lo usó en sus obras.

LA PERFECCIÓN ANATÓMICA ES LA PERFECCIÓN ÁUREA

En ella, Pollio afirma: "En el cuerpo humano, la parte central es el ombligo. Pues si un hombre se tumba boca arriba, con los brazos y las piernas extendidas, y se centran un par de compases en el ombligo, los dedos de las manos y los pies tocarán la circunferencia descrita a partir de ese centro. Y también puede inscribirse en una figura cuadrada". Si dividimos el lado del cuadrado (la altura del ser humano) por el radio de la circunferencia (la distancia del ombligo a la punta de los dedos) tendremos el número áureo. Así, si el lector quiere saber si es bellamente perfecto, sólo tiene que coger una regla. 

Poco a poco Leonardo se fue obsesionando con la búsqueda de pautas que relacionaran no sólo la anatomía con la arquitectura, sino con la estructura armónica de la música y con la propia naturaleza. Su búsqueda de proporciones en el mundo que le rodeaba, al igual que su intento de relacionar la circunferencia de las copas de los árboles con la longitud de sus ramas, fue intensa pero vana. No obstante, no era una idea errónea, porque mirando la naturaleza podemos encontrar el número áureo en diferentes contextos. Pero antes debemos echar la vista atrás y prestar atención a un matemático italiano del siglo XIII que tenía una pasión un tanto oscura por los conejos y su tasa reproductiva.

SERIE DE FIBONACCI

El número áureo también está “emparentado” con la serie de Fibonacci. Si llamamos Fn al enésimo número de Fibonacci y Fn+1 al siguiente, podemos ver que a medida que n se hace más grande, la razón entre Fn+1 y Fn oscila, siendo alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Esto lo relaciona de una forma muy especial con la naturaleza, ya que como hemos visto antes, la serie de Fibonacci aparece continuamente en la estructura de los seres vivos. El número áureo, por ejemplo, relaciona la cantidad de abejas macho y abejas hembras que hay en una colmena, o la disposición de los pétalos de las flores. De hecho, el papel que juega el número áureo en la botánica es tan grande que se lo conoce como “Ley de Ludwig”. Quizás uno de los ejemplos más conocidos sea la relación que existe en la distancia entre las espiras del interior espiralado de los caracoles como el nautilus. En realidad, casi todas las espirales que aparecen en la naturaleza, como en el caso del girasol o las piñas de los pinos poseen esta relación áurea, ya que su número generalmente es un término de la sucesión de Fibonacci.

Este número también aparece con mucha frecuencia en el arte y la arquitectura. Por algún motivo, las figuras que están “proporcionadas” según el número áureo nos resultan más agradables. Aunque recientes investigaciones revelan que no hay ninguna prueba que conecte esta proporción con la estética griega, lo cierto es que a lo largo de la historia se ha utilizado para “embellecer” muchas obras. Por ejemplo, el uso de la sección áurea puede encontrarse en las principales obras de Leonardo Da Vinci. Es bien conocido el interés de Leonardo por la las matemáticas del arte y de la naturaleza, y esta proporción no le era indiferente. De hecho, en su estudio de la figura humana, plasmado en el Hombre de Vitruvio, puede verse cómo todas las partes del cuerpo humano guardan relación con la sección áurea. Algunos expertos creen que la gran pintura inacabada de Leonardo, San Jerónimo, que muestra a este santo con un león a sus pies, fue pintada ex profeso de forma que un rectángulo con estas proporciones encajase perfectamente alrededor de la figura central. También el rostro de la Mona Lisa encierra un “rectángulo dorado” perfecto. Obviamente, Leonardo no fue el único en utilizar esta proporción en su obra. Miguel Ángel, por ejemplo, hizo uso del número áureo en la impresionante escultura El David, desde la posición del ombligo con respecto a la altura, hasta la colocación de las articulaciones de los dedos.

La arquitectura no es ajena a este valor matemático. La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón de Atenas, por ejemplo, también se relacionan mediante el número áureo. Muchos productos de consumo masivo se diseñan siguiendo esta relación, ya que resultan más agradables o cómodos. Las tarjetas de crédito o las cajas de cigarrillos poseen dimensiones que mantienen esta proporción. El número áureo puede encontrarse por todas partes, y a menudo ni siquiera somos consientes de que está allí. Pero en general, cuando algo nos resulta atractivo, esconde entre sus partes esta relación.

LA SUCESIÓN DE FIBONACCI EN LA NATURALEZA

La gran mayoría de los árboles parecen crecer siguiendo la sucesión de fibonacci: El tronco (1) se divide en una rama grande (1), esta rama se divide en dos (2), luego, cada una de ellas se divide en 3 (3) ramas más pequeñas, y así sucesivamente.

El Sistema Solar pareciera seguir este patrón: Mercurio (1), Venus (1), La Tierra (2, incluyendo La Luna), Marte (3, incluyendo Fobos y Deimos). Hasta aquí la semejanza, pues el planeta que sigue en el Sistema Solar (Júpiter) tiene más de 60 satélites conocidos. Sin embargo, sólo 4 de ellos son observables fácilmente (Io, Europa, Ganímedes y Calisto), dado que los otros son marcadamente más pequeños. Así, podemos extender hasta el número 5 la presencia de la serie de Fibonacci en nuestro Sistema Solar.

Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que los zánganos, el macho de la abeja, no tiene padre (1), pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho trastatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.

LA MUSICA

La música contiene muchos elementos previsibles y otros imprevisibles, argumentos científicos que ayudan a comprender la relación de un ámbito no-circunscrito y el arte; así como las leyes del universo físico circunscrito.

La intuición muestra posibilidades infinitas al individuo cuando se la aprovecha con capacidad, sea anhelando, queriendo, agradeciendo, amando, o empatizando, etc.

El raciocinio no es lo único que confirma la existencia de las formas inteligibles que palpamos en el arte: lo que aparentemente es impalpable fuera del sentir, lejos de la sensación o en la contradicción misma de lo audible y lo no audible. Todo es música en un producto organizado: los silencios, el sonido, la respuesta emocional ante los ritmos y secuencias, la compatibilidad del escenario afectivo con lo vivido en él o fuera de éste.

Mientras estos números se estructuran como música la “realización-producto” de nuestra disposición se torna “realización-proceso” gracias a la predisposición y la sensibilidad; esto a su vez se compagina con otros fenómenos matemáticos y psiconeuroendocrinológicos que la ciencia procura explicar.

Pero, entre estos aspectos fundamentales: la intención cambia al universo en forma directamente proporcional o inversamente proporcional – con matices individuales- positiva o negativamente.

La intención parte desde el universo no circunscrito y se manifiesta en el contacto que le da forma: parte de fragmentos de un “estado de arte” inspirado o guiado por lo no-circunscrito hasta la vivencia de otro estado físico senso espiritual, pero circunscrito.

Esta propiedad prolonga el “estado del arte” que escuchamos y lo reiteramos en la percepción al punto de lograr diversas formas. Llegamos incluso a crearnos sensaciones sea al nivel del éxtasis primitivo o de lo místico extasiado en la sublimidad.

Ante todo lo mencionado observo que son puntos de vistas muy acertados para esos tiempos ya que, al observar el rectángulo áureo en muchas partes es posible que se vea mucho mas estético que cuando no lo tiene y ahora en estos tiempos que también lo toman en cuenta, aunque sea mínima la diferencia logramos captar su belleza. Puede ser que para unos no tenga tanta importancia o que solo son teorías nada creíbles sobre el rectángulo áureo, pero se ha de decir que cada quien tiene su forma de ver las cosas y criticar sobre este tema.